Calcul dérivé

Calculateur de dérivation

Champ de saisie de la fonction à dériver:

f(x) =

clair

Plot

Pos1

End

Produits dérivés

\frac{d}{d x} f (x)

Dérivé suivant

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)

(

)

\sin

\cos

\tan

e^{x}

\ln (x)

x^{a}

asin

acos

atan

x^{2}

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x}

\sqrt[4]{x}

\frac{()}{()}

\sinh

\cosh

\frac{a x + c}{b x + c}

\frac{a + x}{b + x}

\frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}

\frac{1}{a + b x}

\frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

\sqrt{x + a}

\sqrt{e^{a x}}

e^{\sqrt{x}}

\frac{1}{\sqrt{a x}}

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

e^{x} \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)

\frac{1}{\sin}

\frac{1}{\cos}

\frac{1}{\tan}

e^{\sqrt{x}}

a e^{- b x^{2} + c}

\sqrt{e^{a x}}

a e^{b x + c}

e^{a x^{2}}

\frac{1}{e^{a x}}

\frac{x}{e^{x}}

a \cdot \sin (b x + c)

a \cdot \cos (b x + c)

a \cdot \tan (b x + c)

a \cdot \sin^{2} (b x + c)

a x^{2} + b x + c

Fonction	Description
sin(x)	Sinus de x
cos(x)	Cosinus de x
tan(x)	Tangente de x
asin(x)	arcsine
acos(x)	arccosine de x
atan(x)	arctangent de x
atan2(y, x)	Renvoie l'arctangente du quotient de ses arguments.
cosh(x)	Cosinus hyperbolique de x
sinh(x)	Sinus hyperbolique de x
pow(a, b)	Puissance a^b
sqrt(x)	Racine carrée de x
exp(x)	e-fonction
log(x), ln(x)	Logarithme naturel
log(x, b)	Logarithme en base b
log2(x), lb(x)	Logarithme en base 2
log10(x), ld(x)	Logarithme en base 10

plus ...

Notation pour la différenciation

Pour la différenciation, il existe différentes notations habituelles ayant la même signification. L'utilité de chaque notation varie en fonction du contexte. Les notations les plus courantes pour la différentiation de Leibnitz, Euler, Lagrange et Newton sont énumérées ci-dessous.

Notation de Leibnitz pour la différentiation

La dérivée en notation de Leibnitz d'une fonction f à la variable x est donnée comme suit.

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d f}{d x} (x) = \frac{d f (x)}{d x}$

Il est également habituel de définir y = f(x) avec la notation de la dérivée comme suit.

$\frac{d y}{d x}$

Les dérivées seconde, troisième et supérieure s'écrivent comme suit.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}; \frac{d^{3} y}{d x^{3}}; . . .; \frac{d^{n} y}{d x^{n}};$

Notation de Lagrange pour la différentiation

La dérivée première en notation de Lagrange est donnée par un ' à la fonction.

$f^{'} (x)$

Les dérivées supérieures en notation de Lagrange sont données comme suit.

$f^{″} (x); f^{‴} (x); f^{(4)} (x); . . .; f^{(n)} (x)$

Notation d'Euler pour la différentiation

Euler utilise l'opérateur D pour la dérivée.

$D f = \frac{d}{d x} f (x)$

Notation de Newton pour la différentiation

La notation de Newton est également appelée notation par points. Cette notation utilise des points pour noter les dérivées. Cette notation est utilisée pour les fonctions dépendant du temps t.

$\dot{f} (t) = \frac{d f}{d t}$

Les dérivées supérieures en notation de Newton sont données comme suit.

$\ddot{f} (t) = \frac{d^{2} f}{d t^{2}}; \overset{⃛}{f} (t) = \frac{d^{3} f}{d t^{3}}$

Produits dérivés de base

$\frac{d}{d x} Const. = 0$

$\frac{d}{d x} x = 1$

$\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{x} = - \frac{1}{x^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{n}} = - \frac{n}{x^{n + 1}}$

$\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} \ln a$

$\frac{d}{d x} a^{k x} = a^{k x} k \ln a$

$\frac{d}{d x} \frac{a \cdot x + c}{b \cdot x + c} = \frac{c \cdot (a - b)}{{(b \cdot x + c)}^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{a + b \cdot x} = \frac{- b}{{(a + b \cdot x)}^{2}}$

Dérivées des fonctions trigonométriques

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivées des fonctions racines

n-ième dérivations

Règles de dérivation

Dans ce qui suit, les règles de dérivation les plus importantes sont décrites et expliquées à l'aide d'exemples.

Règle des facteurs : Un facteur constant est retenu lorsque l'on différencie
Règle de la somme : Règle de dérivation d'une somme
Règle des produits : Règle de dérivation des produits
Règle des quotients : Règle pour la dérivation des quotients
Règle de la chaîne : Règle de dérivation des fonctions imbriquées

Les règles de dérivation en bref

Règle des facteurs: Un facteur constant est préservé lorsque l'on différencie

$(a \cdot f)' = a \cdot f'$

Règle de la somme: Lorsqu'on calcule une somme, les sommets peuvent être calculés individuellement.

$(f_{1} + f_{2})' = f_{1}' + f_{2}'$

Règle du produit: Règle de dérivation des produits

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Règle du quotient: Règle de dérivation des quotients

${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

Règle de la chaîne: Les fonctions imbriquées se transforment en un produit des dérivées internes et externes lorsqu'elles sont différenciées.

$(f (g (x)))' = f' (g) \cdot g' (x)$

Règle des facteurs et des sommes

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} (a_{1} f_{1} (x) + a_{2} f_{2} (x)) = \frac{d}{d x} a_{1} f_{1} (x) + \frac{d}{d x} a_{2} f_{2} (x) = a_{1} \frac{d}{d x} f_{1} (x) + a_{2} \frac{d}{d x} f_{2} (x)$

La règle de la somme stipule que les éléments de la somme peuvent être différenciés individuellement.

Dérivation des sommets

$\frac{d}{d x} (f_{1} (x) + f_{2} (x)) = \frac{d}{d x} f_{1} (x) + \frac{d}{d x} f_{2} (x)$

La règle des facteurs stipule que les facteurs constants sont conservés pendant la dérivation.

Le facteur constant a est conservé lors de la dérivation de

$\frac{d}{d x} (a f (x)) = a \frac{d}{d x} f (x)$

Exemple d'application de la règle du facteur et de la somme (ouvert par sélection)

La fonction de l'exemple contient des facteurs de somme et de constante. Pour différencier, les deux règles sont appliquées.

Dans la première étape, on applique la règle de la somme. Dans la deuxième étape, on applique la règle des facteurs sur chaque addition et on dérive finalement les termes individuels, la dérivée de la fonction.

Règle du produit

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} (u (x) \cdot v (x)) = v (x) \frac{d}{d x} u (x) + u (x) \frac{d}{d x} v (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$

La règle du produit spécifie comment traiter le produit de deux fonctions lorsqu'elles sont différenciées. En d'autres termes, la règle du produit peut être exprimée comme suit : Dérivation de la première fonction fois la seconde fonction plus la première fonction fois la dérivation de la seconde fonction.

Exemples d'application de la règle du produit (ouvert par sélection)

Voici quelques exemples d'application de la règle du produit.

Exemple de règle de produit 1

Dans le premier exemple, la règle du produit est expliquée à l'aide d'une fonction constituée du produit des fonctions sinus et cosinus. La dérivation est effectuée selon la règle du produit de sorte que la dérivée du premier facteur est multipliée par le second facteur et ajoutée à la dérivée du second facteur multipliée par le premier facteur.

Exemple de règle de produit 2

Dans le deuxième exemple, la règle du produit est expliquée par une fonction constituée du produit des fonctions exponentielle et sinus.

La dérivation s'effectue selon la règle du produit comme dans le premier exemple, à ceci près que le premier facteur est ici la fonction e et le second la fonction sinus.

Exemple de règle de produit 3

Dans le troisième exemple, la règle du produit est expliquée par une fonction constituée du produit de trois fonctions.

Si un produit est constitué de plus de deux fonctions, la règle du produit peut être utilisée successivement en combinant les fonctions selon les besoins et en appliquant la règle du produit plusieurs fois de suite.

Par les parenthèses respectives, on obtient à nouveau un produit de deux facteurs sur lequel on peut appliquer la règle du produit. Ici, dans l'exemple, nous continuons avec la première variante.

Quotient Rule

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} \frac{u (x)}{v (x)} = \frac{v (x) \frac{d}{d x} u (x) - u (x) \frac{d}{d x} v (x)}{v^{2} (x)} = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{v^{^{2}}}$

La règle du quotient spécifie comment traiter le quotient de deux fonctions lorsqu'elles sont différenciées.

Exemple d'application de la règle du quotient (ouvert par sélection)

Comme exemple d'application de la règle du quotient, on utilise le quotient de la fonction sinus et de la fonction cosinus. L'application est similaire à la règle du produit. Le rôle des facteurs prend ici chaque numérateur et dénominateur de la rupture.

Règle de la chaîne

$\frac{d}{d x} f (g (x)) = \frac{d}{d x} g (x) \cdot \frac{d}{d g} f (g) = g^{'} (x) \cdot f^{'} (g)$

La règle de la chaîne spécifie comment les fonctions imbriquées doivent être traitées lorsqu'elles sont différenciées. On fait la distinction entre la fonction intérieure et la fonction extérieure. Ainsi, la règle de la chaîne peut être formulée comme suit : la dérivée est la dérivée de la fonction interne multipliée par la dérivée de la fonction externe. Dans la dérivation de la fonction externe, la fonction interne dans son ensemble est considérée comme une variable. Qu'elle n'est pas différenciée par x mais par la fonction interne g.

Exemples d'application de la règle de la chaîne (ouvert par sélection)

Voici quelques exemples d'application de la règle de la chaîne. Dans le premier exemple, la fonction sinus est dans l'exposant de la fonction e. La fonction sinus est donc la fonction interne g. La fonction sinus est donc la fonction intérieure g. Le deuxième exemple montre comment différencier une fonction puissance. Dans le troisième exemple, une fonction quadratique se trouve dans une fonction trigonométrique.

Usage mixte

Exemples d'utilisation mixte des règles de dérivation (ouvert par sélection)

Voici quelques exemples de l'utilisation mixte des règles de dérivation. Le premier exemple utilise les règles de produit et de quotient. Le deuxième exemple montre comment la règle du produit et de la chaîne peut être utilisée. Le troisième exemple utilise les règles de somme, de facteur et de chaîne.

Différencier les vecteurs

Les vecteurs seront différenciés par dérivation de toutes les composantes vectorielles.

$\frac{d}{d t} \vec{f (t)} = (\begin{matrix} \frac{d}{d t} f_{1} (t) \\ \frac{d}{d t} f_{2} (t) \\ ⁝ \\ \frac{d}{d t} f_{n} (t) \end{matrix})$

Exemple de différentiation d'une fonction vectorielle

Dans l'exemple suivant, la dérivée d'une fonction vectorielle est donnée en utilisant la représentation paramétrique d'une courbe tridimensionnelle.

Règles de différentiation des fonctions vectorielles

Dans ce qui suit, nous donnons quelques règles pour la différenciation des fonctions vectorielles. Parmi elles, on trouve également la dérivation du produit en croix et du produit scalaire des fonctions vectorielles. f désigne une fonction scalaire. Avec le produit en croix, les facteurs ne peuvent pas être échangés.

Dérivés partiels

Pour les fonctions comportant plus d'une variable, la dérivée par rapport à l'une des variables est appelée dérivée partielle.

Pour une fonction avec la variable x et plusieurs autres variables, la dérivée partielle par rapport à x est notée comme suit.

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, . . .)$

Pour la dérivation partielle, les autres variables sont traitées comme des constantes.

Exemple pour les dérivées partielles

Dans l'exemple suivant, la dérivée d'une fonction de x, y et z est dérivée partiellement en fonction de chacune des variables.

Gradient

Un gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles d'une fonction f. Il existe deux noms courants pour le gradient. L'un est grad(f) et l'autre utilise l'opérateur différentiel nabla ∇.

$g r a d (f) = \nabla f = (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \\ ⁝ \\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{matrix})$

Règles de calcul des gradients

Les règles de calcul suivantes s'appliquent au gradient.

Dérivation implicite

Une fonction F(x, f(x)) = 0 peut également être différenciée sans résoudre explicitement la fonction si les dérivées partielles correspondantes existent.

Si nous définissons y = f(x) et donc F(x, y) = 0 pour une notation plus claire, alors la dérivée peut être calculée au moyen de dérivées partielles comme suit.

$F (x, f (x)) = F (x, y) = 0$

$f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{\partial}{\partial x} F (x, y)}{\frac{\partial}{\partial y} F (x, y)}$

Exemple de dérivation implicite

Exemple de dérivation d'une fonction implicite.

Autres calculatrices

Voici une liste d'autres calculatrices utiles:

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Produits dérivés

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